Математика: Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Преобразуем каждое слагаемое:....................................Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей: Доказано....

Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Ответ:

Flamingo2006

15.10.2020 13:25

$\frac{1}{a(a+1)}+ \frac{1}{(a+1)(a+2)}+ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+...+ \frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Преобразуем каждое слагаемое:

$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

$\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}$

$\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}$

....................................

$\frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n}$

Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей:

$(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2})+( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3})+...+( \frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n})=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-(\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{a+1})-(\frac{1}{a+2}- \frac{1}{a+2})-(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+3})-...-(\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n-1} )-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-0-0-0-...-0-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1*(a+n)-1*a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{a+n-a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{n}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Доказано.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Гуманитарий41

03.12.2020 05:22

решить 5 задание 4 вариант Очень надо ...

Nita132

09.01.2020 14:19

Розв яжіть рівняння 4+4(3-у)=-4(у+2)+24...

kodir74

28.10.2021 12:42

Найди лишнее слово: открывать замечать держать считать...

Lesha152

28.07.2022 19:50

Між сторонами кута АОВ, що дорівнює 140 градусів, проведено два промені ОС і OD так, що кут АОС = 80°, BOD =90°. Знайдіть кут між бісектрисою кута COD і променем ОА...

NIKROSO

04.09.2020 21:26

3. Небольшой лес очишает воздух за год от 70 т пыли. А. хвойный пос этого Сколько пыли хвойный лес за год? Из бочки вылили 7/12 находившегося там керосина. Сколько литров керосина...

Bronin2002

05.08.2022 07:33

Укажите все целые числа расположенные на координатной прямой между числами : 1)10 и корень из 150; 2)корень из 17 и корень из 101; 3)минус корень из 62 и - 6,3; 4)минус корень...

даня1166

28.12.2022 23:23

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 7, 2 и 5 так, чтобы первой цифрой была цифра 2?...

Никитка1123

19.06.2022 19:10

Озаглавь каждую часть сказки ёлка автор м.м зощенко , буду вам : ))...

moon551

19.06.2022 19:10

От одного причала одновременно в противоположных направлениях отплыли катер и моторная лодка. скорость катера 32 км/ч, а скорость лодки на 8 км/ч меньше. на каком расстоянии...

aliceBRATSKAIA

15.09.2020 00:21

Каждому учителю решили подарить одинаковое кол-во тюльпанов для этого купили 100 тюльпанов потом в каждыц букет добавили еще по 2 нарцисса после чего в нем оказалось 70 цветов....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку