На высоте неравнобедренного треугольника ABC, проведенной из вершины A, выбрана точка X. Оказалось, что ∠ABX = ∠ACX. Докажите, что X совпадает с ортоцентром треугольника ABC.
Пусть — высота. Выполним симметрию ΔABX относительно AX. ΔABX переходит в ΔAB'X. ∠AB'X = ∠ACX и опираются на один отрезок, значит, AXB'C — вписанный четырёхугольник. Тогда и ∠B'CX = ∠B'AX. Но ΔBAB' — равнобедренный по построению, где — высота. Тогда ∠BAX = ∠B'AX = ∠B'CX.
Пусть прямая CX пересекает AB в , а BX пересекает AC — в . Рассмотрим и : ∠B — общий, ⇒ , но — прямой, тогда и — прямой. — высоты, пересекаются в точке X, тогда — также высота, X — ортоцентр, что и требовалось доказать.
Пусть
— высота. Выполним симметрию ΔABX относительно AX. ΔABX переходит в ΔAB'X. ∠AB'X = ∠ACX и опираются на один отрезок, значит, AXB'C — вписанный четырёхугольник. Тогда и ∠B'CX = ∠B'AX. Но ΔBAB' — равнобедренный по построению, где 
— высота. Тогда ∠BAX = ∠B'AX = ∠B'CX.
Пусть прямая CX пересекает AB в
, а BX пересекает AC — в 
. Рассмотрим 
и 
: ∠B — общий, 
⇒ 
, но 
— прямой, тогда и 
— прямой. 
— высоты, пересекаются в точке X, тогда 
— также высота, X — ортоцентр, что и требовалось доказать.