А.В. Шевкин. Фигура изображена на клетчатой бумаге ( рис. 1).
Рис. 6
а) Покажите, как можно разрезать ее на 4 равные части, если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.
б) Найдите все возможные фигуры, которые можно получить при таком разрезании.
в) Можно ли ту же фигуру разрезать на 5 равных частей по тем же правилам?
а) Чтобы разрезать данную фигуру на 4 равные части, мы можем использовать следующий подход. Взгляните на рисунок 1. Мы видим, что фигура состоит из 4 уголков, каждый из которых можно разрезать по диагоналям на две равные части (как на рисунке 2). Таким образом, каждый уголок будет разделен на 2 треугольника. Соединив противоположные треугольники каждого уголка, мы разделяем всю фигуру на 4 равные части (как на рисунке 3).
Рисунок 2
A B
/ \ / \
/ \ / \
---- -----
C D
Рисунок 3
A--- ---B
/ | | \
/ | | \
---------------------
C | | D
б) Теперь давайте посмотрим на возможные фигуры, которые можно получить при таком разрезании. Как можно заметить на рисунке 3, каждая из полученных частей представляет собой прямоугольный треугольник. Таким образом, все возможные фигуры, которые можно получить при разрезании на 4 равные части, также являются прямоугольными треугольниками.
в) Для разрезания фигуры на 5 равных частей, мы должны использовать те же самые правила разрезания по линейкам клетчатой бумаги. Однако, в данном случае это невозможно. Давайте проверим: если мы проведем 4 линейки, разрезая фигуру по углам, то получим 4 равные части, как мы уже выяснили ранее. Каждая часть будет представлять собой прямоугольный треугольник. Однако, в пятую часть нам уже не хватит углов для разрезания. Таким образом, разрезание на 5 равных частей невозможно по данным правилам.
В итоге, мы разобрали, как можно разрезать данную фигуру на 4 равные части и обнаружили, что все возможные фигуры при таком разрезании являются прямоугольными треугольниками. Кроме того, мы установили, что разрезание фигуры на 5 равных частей невозможно по тем же самым правилам.