Для решения этой задачи, нам нужно найти точку на графике функции, где ее касательная параллельна заданной прямой y=3x+30.
Для начала, мы знаем, что если касательная параллельна прямой, их наклоны должны быть равны. Таким образом, мы можем найти наклон касательной, используя производную функции.
Для этого, найдем производную функции y=x3+5x2−5x−18. Для этого, возьмем производную от каждого члена и запишем результат:
y'=3x2+10x-5.
Теперь у нас есть производная функции. Чтобы найти наклон касательной, мы подставляем значение x в выражение для производной. Так как наклон касательной должен быть равен 3 (так как прямая y=3x+30 имеет наклон 3), мы можем записать уравнение:
3=3x2+10x-5.
Теперь, решим это уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:
3-3x2-10x+5=0.
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или используя квадратное уравнение:
-3x2-10x+8=0.
Факторизуем это уравнение:
(-3x+2)(x+4)=0.
Теперь, найдем значения x, при которых (-3x+2)(x+4)=0.
Из первой скобки, мы получаем, что -3x+2=0, что приводит к x=2/3.
Из второй скобки, мы получаем x+4=0, что приводит к x=-4.
Таким образом, у нас есть два возможных значения x для точек касания: x=2/3 и x=-4. Чтобы найти наименьшую абсциссу точки касания, мы выбираем меньшее из двух значений, то есть x=-4.
Итак, наименьшая абсцисса точки касания находится при x=-4.
Для начала, мы знаем, что если касательная параллельна прямой, их наклоны должны быть равны. Таким образом, мы можем найти наклон касательной, используя производную функции.
Для этого, найдем производную функции y=x3+5x2−5x−18. Для этого, возьмем производную от каждого члена и запишем результат:
y'=3x2+10x-5.
Теперь у нас есть производная функции. Чтобы найти наклон касательной, мы подставляем значение x в выражение для производной. Так как наклон касательной должен быть равен 3 (так как прямая y=3x+30 имеет наклон 3), мы можем записать уравнение:
3=3x2+10x-5.
Теперь, решим это уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:
3-3x2-10x+5=0.
Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью факторизации или используя квадратное уравнение:
-3x2-10x+8=0.
Факторизуем это уравнение:
(-3x+2)(x+4)=0.
Теперь, найдем значения x, при которых (-3x+2)(x+4)=0.
Из первой скобки, мы получаем, что -3x+2=0, что приводит к x=2/3.
Из второй скобки, мы получаем x+4=0, что приводит к x=-4.
Таким образом, у нас есть два возможных значения x для точек касания: x=2/3 и x=-4. Чтобы найти наименьшую абсциссу точки касания, мы выбираем меньшее из двух значений, то есть x=-4.
Итак, наименьшая абсцисса точки касания находится при x=-4.