Докажите, что 1•1+ 2•2+ … + n•n= (n + 1)– 1 при любом натуральном

Пошаговое объяснение:

k•k!=[(k+1)-1]•k!=(k+1)•k!-1•k!=(k+1)!-k!

Получили что k•k!=(k+1)!-k!. Используем полученную формулу для каждого произведения

1•1!=2!-1!

2•2!=3!-2!

3•3!=4!-3!

(n-2)•(n-2)!=(n-1)!-(n-2)!

(n-1)•(n-1)!=n!-(n-1)!

n•n!=(n+1)!-n!

Сложив полученные равенства, имеем

1•1!+2•2!+3•3!+...+(n-2)•(n-2)!+(n-1)•(n-1)!+n•n!=

=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n-1)!-(n-2)!+n!-(n-1)!+(n+1)!-n!=(n+1)!-1

Что и требовалось доказать.