В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык

Доказать сходимость числового ряда и найти его сумму

Ответ:
diman122001
diman122001
12.10.2020 15:16

1) \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-1}{n^2}=2\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} расходится как гармонический, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} сходится как обобщенный гармонический с k=2 => исходный ряд расходится

2) \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2n-1}{e^n}}=\dfrac{1}{e} а значит ряд сходится по радикальному признаку Коши.

S= \sum\limits_{n=1}^\infty nx^n,\;\;\;\;\;x=\dfrac{1}{e}\\ S(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n-\sum\limits_{n=2}^\infty (n-1)x^n=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n-\sum\limits_{n=1}^\infty (n-1)x^n=\\ =\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\\ x=\dfrac{1}{e}:\;\;\;\; S(1-\dfrac{1}{e})=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{e^n}=\dfrac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}}=S=\dfrac{\frac{1}{e}}{(1-\frac{1}{e})^2}=\dfrac{e}{(1-e)^2}\\

=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-1}{e^n}=2\dfrac{e}{(1-e)^2}-\dfrac{1}{e-1}=\dfrac{2e+(1-e)}{(1-e)^2}=\dfrac{e+1}{(1-e)^2}  

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?