Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных над
указанными множествами:
А) "x кратно 3", М = {1, 2,3,4,5,6,7,8,9}.
Б) "sin x > 1", М = ℝ.
В) x1 Г) x1 делит x2, М1 = М2 = {2,3,4,6}.
Д) x1 + x2 < 0, М1 = {−3, −2, −1,0,1,2,3}, М2 = {−3,1,2}.
Чтобы найти множество истинности этого предиката, нужно найти все значения x из множества М, для которых выполнено условие "x кратно 3".
1 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
2 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
3 кратно 3, поэтому это значение входит в множество истинности.
4 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
5 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
6 кратно 3, поэтому это значение входит в множество истинности.
7 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
8 не кратно 3, поэтому это значение не входит в множество истинности.
9 кратно 3, поэтому это значение входит в множество истинности.
Таким образом, множество истинности предиката "x кратно 3", где М = {1, 2,3,4,5,6,7,8,9}, будет {3, 6, 9}.
Б) Предикат "sin x > 1", где М = ℝ.
Этот предикат задан над множеством всех действительных чисел, поэтому нужно найти все значения x из этого множества, для которых выполняется условие "sin x > 1".
Однако, значение sin x не может быть больше 1 при любом значении x в множестве ℝ. Максимальное значение sin x равно 1 при x = π/2.
Таким образом, множество истинности предиката "sin x > 1", где М = ℝ, будет пустым (не содержит ни одного элемента).
В) Предикат "x1 делит x2", где М1 = М2 = {2,3,4,6}.
Чтобы найти множество истинности этого предиката, нужно найти все значения (x1, x2) из множества (М1, М2), для которых выполнено условие "x1 делит x2".
По определению, если x1 делит x2, то остаток от деления x2 на x1 должен быть равен 0.
Применяя это к каждой паре (x1, x2), получаем следующие результаты:
2 делит 2, поэтому (2, 2) входит в множество истинности.
2 делит 3, но остаток от деления 3 на 2 равен 1, поэтому (2, 3) не входит в множество истинности.
2 делит 4, поэтому (2, 4) входит в множество истинности.
2 делит 6, поэтому (2, 6) входит в множество истинности.
3 делит 2, но остаток от деления 2 на 3 равен 2, поэтому (3, 2) не входит в множество истинности.
3 делит 3, поэтому (3, 3) входит в множество истинности.
3 делит 4, но остаток от деления 4 на 3 равен 1, поэтому (3, 4) не входит в множество истинности.
3 делит 6, поэтому (3, 6) входит в множество истинности.
4 делит 2, но остаток от деления 2 на 4 равен 2, поэтому (4, 2) не входит в множество истинности.
4 делит 3, но остаток от деления 3 на 4 равен 3, поэтому (4, 3) не входит в множество истинности.
4 делит 4, поэтому (4, 4) входит в множество истинности.
4 делит 6, поэтому (4, 6) входит в множество истинности.
6 делит 2, но остаток от деления 2 на 6 равен 2, поэтому (6, 2) не входит в множество истинности.
6 делит 3, но остаток от деления 3 на 6 равен 3, поэтому (6, 3) не входит в множество истинности.
6 делит 4, но остаток от деления 4 на 6 равен 4, поэтому (6, 4) не входит в множество истинности.
6 делит 6, поэтому (6, 6) входит в множество истинности.
Таким образом, множество истинности предиката "x1 делит x2", где М1 = М2 = {2,3,4,6}, будет {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}.
Д) Предикат "x1 + x2 < 0", где М1 = {−3, −2, −1,0,1,2,3}, М2 = {−3,1,2}.
Чтобы найти множество истинности этого предиката, нужно найти все значения (x1, x2) из множества (М1, М2), для которых выполняется условие "x1 + x2 < 0".
Применяя это к каждой паре (x1, x2), получаем следующие результаты:
(-3) + (-3) = -6 < 0, поэтому (-3, -3) входит в множество истинности.
(-3) + 1 = -2 < 0, поэтому (-3, 1) входит в множество истинности.
(-3) + 2 = -1 < 0, поэтому (-3, 2) входит в множество истинности.
(-2) + (-3) = -5 < 0, поэтому (-2, -3) входит в множество истинности.
(-2) + 1 = -1 < 0, поэтому (-2, 1) входит в множество истинности.
(-2) + 2 = 0 < 0, поэтому (-2, 2) входит в множество истинности.
(-1) + (-3) = -4 < 0, поэтому (-1, -3) входит в множество истинности.
(-1) + 1 = 0 < 0, поэтому (-1, 1) входит в множество истинности.
(-1) + 2 = 1 < 0, поэтому (-1, 2) не входит в множество истинности.
0 + (-3) = -3 < 0, поэтому (0, -3) входит в множество истинности.
0 + 1 = 1 < 0, поэтому (0, 1) не входит в множество истинности.
0 + 2 = 2 < 0, поэтому (0, 2) не входит в множество истинности.
1 + (-3) = -2 < 0, поэтому (1, -3) входит в множество истинности.
1 + 1 = 2 < 0, поэтому (1, 1) не входит в множество истинности.
1 + 2 = 3 < 0, поэтому (1, 2) не входит в множество истинности.
2 + (-3) = -1 < 0, поэтому (2, -3) входит в множество истинности.
2 + 1 = 3 < 0, поэтому (2, 1) не входит в множество истинности.
2 + 2 = 4 < 0, поэтому (2, 2) не входит в множество истинности.
3 + (-3) = 0 < 0, поэтому (3, -3) входит в множество истинности.
3 + 1 = 4 < 0, поэтому (3, 1) не входит в множество истинности.
3 + 2 = 5 < 0, поэтому (3, 2) не входит в множество истинности.
Таким образом, множество истинности предиката "x1 + x2 < 0", где М1 = {−3, −2, −1,0,1,2,3}, М2 = {−3,1,2}, будет {(-3, -3), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -3), (-2, 1), (-1, -3), (0, -3)}.