Войти Регистрация Спроси ai-bota

Дифференциальное уровнение первого порядка решить

Ответ:

nezervillager

12.08.2020 08:39

(x^2+xy+y^2)dx-xydy=0

Разделим почленно на x^2 :

$\left(1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}\right)dx-\dfrac{y}{x}dy=0$

Разделим почленно на :

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{dy}{dx} =0$

$1+\dfrac{y}{x} +\dfrac{y^2}{x^2}-\dfrac{y}{x}\cdot y'=0$

Замена:

$\dfrac{y}{x}=t\\\Rightarrow y=tx\\\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

$1+t +t^2-t\cdot(t'x+t)=0$

1+t +t^2-xtt'-t^2=0

1+t-xtt'=0

xtt'=1+t

$xt\cdot\dfrac{dt}{dx} =1+t$

$\dfrac{t}{1+t}dt=\dfrac{dx}{x}$

$\left$

$\left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\dfrac{dx}{x}$

$\int \left(1-\dfrac{1}{1+t}\right)dt=\int\dfrac{dx}{x}$

$t-\ln|1+t|=\ln|x|+\ln C$

$t=\ln|x|+\ln C+\ln|1+t|$

$t=\ln \left(Cx(1+t)\right)$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(Cx\left(1+\dfrac{y}{x}\right)\right)$

$\dfrac{y}{x} =\ln \left(C\left(x+y\right)\right)$

$\boxed{C\left(x+y\right)=e^{\frac{y}{x} }}$ - общее решение

Подставим данные по условию y(1)=0 :

$C\left(1+0\right)=e^{\frac{0}{1} }$

C=1

$\boxed{x+y=e^{\frac{y}{x} }}}$ - частное решение

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

strelecky

25.06.2022 11:28

Найдите значение выражение x^6 + 1/x^6 если x^2 + 1/x^2 = 2...

Amir011kz

24.12.2020 15:12

Составьте примеры, подставив в пустую клет-ку выражения в руках Бабура числа, которыедержат Нафиса, Гульбахор, Анвар, Улугбек, ирешите их. Например: 3+5= 8....

rozella2017

01.05.2021 21:05

На сколько процентов 10 2/5 меньше, чем с пошаговым объяснением !! заранее за ответ)...

poiu123

12.09.2022 10:20

Записать основные правила дифференцирования. 2. Записать образцы примеров. 3. Записать таблицу производных 4. Вычислить производные: 1) у = 3х2 – 15х + 16 2) у = х3 + 25х...

sasha19771

06.02.2023 00:37

Разность двух чисел на 50 раз меньше первого и на 20 меньше второго. найдите эти числа и разности. на логику....

сумбэльсофаникита

06.02.2023 00:37

Видстань миж мистами львыв ы семферополь фвтотуристи подолали за тридны першого дня вони проихали 501 км що на 105 км былше ниж другого дня а третього дня на 220 км менше...

angelochec1999

06.02.2023 00:37

Рассчитать пренодлежности для 8 класса...

vangelinna

06.02.2023 00:37

Кчислу 5 прибавили 2, а потом еще 6....

AnnA18101

06.02.2023 00:37

Контролер за 10 минут проверяет 50 деталей сколько деталей он проверит за 01: 00 если будет проверять только же деталей в минуту...

Masha6655

06.02.2023 00:37

Используя свойства квадратного корня,найдите с микрокалькулятора значение выражения: квадратный корень: 193600,624100,23,04; 0,7744...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку