В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
pjs
pjs
08.05.2020 12:04 •  Математика

Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2

Ответ:
марина1929
марина1929
12.10.2020 02:41

Рассмотрим функцию f(x)=(e^x-1)\ln(x+1)-x^2.

Область определения функции: x+10 откуда x-1.

Исследуем функцию f(x) на монотонность. Ищем производную функции

f'(x)=e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}-2x=0

e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}=2x

Строим график функции стоящую слева в уравнении - возрастающая (на области определения) и прямую y=2x. Графики пересекаются только в одной точке (0;0).

(-1)___-____(0)_____+____

При -1 производная отрицательная, а при x0 - положительная. Следовательно, функция f(x) на промежутке x \in (-1;0) убывает, а на пром. x \in (0;+\infty) - возрастает. Значит, в точке x=0 функция имеет максимум, который равный 0

Следовательно, функция f(x) всюду положительна на области определения и кроме точки x=0, получаем

f(x)0~~\Rightarrow~~~ (e^x-1)\ln (1+x)-x^20~~\Rightarrow~~ (e^x-1)\ln(1+x)x^2


Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?