При каких значениях x выполняется равенство f'(x)=0, если известно, что f(x)=x^2+3/корень x?

Чтобы определить значения x, при которых выполняется равенство f'(x) = 0, нужно найти производную функции f(x) и приравнять ее к нулю.

Для начала найдем производную функции f(x). Используя правило дифференцирования для суммы функций и правило дифференцирования степенной функции, получаем:

f'(x) = (d/dx)(x^2) + (d/dx)(3/√x)

Дифференцируя x^2, получаем:

f'(x) = 2x + (d/dx)(3/√x)

Дифференцируем 3/√x, используя правило дифференцирования константы и правило дифференцирования обратной функции, получаем:

f'(x) = 2x - 3/(2√x^3)

Теперь приравниваем f'(x) к нулю и решаем уравнение:

2x - 3/(2√x^3) = 0

Умножаем обе стороны уравнения на 2√x^3, чтобы избавиться от знаменателя:

2x * 2√x^3 - 3 = 0

Выполняем операции с умножением:

4√x^5 - 3 = 0

Добавляем 3 к обеим сторонам уравнения:

4√x^5 = 3

Делим обе стороны уравнения на 4:

√x^5 = 3/4

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

x^5 = (3/4)^2

Вычисляем (3/4)^2:

x^5 = 9/16

Используем корень пятой степени, чтобы избавиться от степени:

x = (9/16)^(1/5)

Окончательный ответ: x = (9/16)^(1/5).

Таким образом, равенство f'(x) = 0 выполняется при значении x, равном корню пятой степени из 9/16.