Можно ли написать подряд 17 целых чисел так, чтобы сумма любых четырех соседних чисел была отрицательная, а сумма всех чисел равнялась 2020?

Нельзя.

Пошаговое объяснение:

Пусть у нас первые 13 чисел идут 0 и -1, а последние 4 неизвестны.

0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, -1, 0, a, b, c, d.

Сначала все суммы равны -1, а в конце получается так:

a+b+c+d < 0

a+b+c+d+(-1)+(-1)+(-1) = 2020

Получается, что сумма a+b+c+d < 0, а если от нее отнять ещё 3, то будет 2020 > 0.

Это противоречие.