Пусть f - многочлен, а F - множество решений уравнения f(x) = х - совпадает с множеством решений уравнения f(f(x)) = x.
Покажите, что множество решений уравнения f(f(...(x)...)) совпадает с F.

Пусть означает , где применена раз.

Поскольку многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)

Докажем утверждение по индукции.

База: - это то, что дано по условию.

Переход:

Пусть для некоторого верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для ; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения совпадает с ; Возьмем от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): ; Но если сделать замену , получим ; А множество решений этого уравнения лежит в ; Предположим, что есть некоторый элемент , такой, что для него не найдется , чтобы ; Тогда , но лежит в , противоречие. Это завершает переход.