Войти Регистрация Спроси ai-bota

Выразить $\sin^5(\varphi)$ и $\cos^5(\varphi)$ через первые степени синусов и косинусов аргументов, кртаных $\varphi$

Ответ:

bistreeee

23.08.2020 12:11

Будем использовать формулу Эйлера:

$\sin \varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i};~~~ \cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$

И по формуле бинома Ньютона

$(a+ b)^5=a^5+5a^4b+10b^2a^3+10b^3a^2+5b^4a+b^5\\ (a-b)^5=a^5-5a^4b+10b^2a^3-10b^3a^2+5b^4a-b^5$

$\sin^5\varphi=\left(\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)^5=\dfrac{1}{32i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})^5=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-5e^{4i\varphi}e^{-i\varphi}+\\ \\ \\+10e^{-2i\varphi}e^{3i\varphi}-10e^{-3i\varphi}e^{2i\varphi}+5e^{-4i\varphi}e^{i\varphi}-e^{-5i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}-5e^{3i\varphi}+5e^{-3i\varphi}+10e^{i\varphi}-10e^{-i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\underbrace{\dfrac{e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}}{2i}}_{\sin 5\varphi}-5\cdot \underbrace{\dfrac{e^{3i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{2i}}_{\sin 3\varphi}+10\cdot \underbrace{\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}}_{\sin \varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\sin5\varphi-5\sin3\varphi+10\sin\varphi\Big)$

Аналогично для $\cos^5\varphi$ также делается как и с синусом.

$\cos^5\varphi=\dfrac{1}{16}\Big(\cos5\varphi+5\cos3\varphi+10\cos \varphi\Big)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

14умник

28.09.2021 12:59

Решите уравнение -x-2+3(x-3)=3(4-x)-3...

AREN12082003

28.09.2021 12:59

В6 корзин и 8 ящиков разложили 114 кг слив. в каждую корзину помещалось 7 кг слив.сколько слив помещалось в 1 ящик...

Annaanna2002

28.09.2021 12:59

Сполки взяли 6 книг. это 3/8 всех книг. сколько книг было на полке?...

Света11111111119079г

03.12.2020 01:39

Шофер перевез 133,4 т пшеницы за 5 дней, перевыполнив план на 15 %. на сколько брольше тонн пшеницы перевез шофер за один ден, чем должен был перевозить по плану?...

yaku06nastyaozq1r7

03.12.2020 01:39

Водном пакете 3,721 кг конфет а в другом на 1,421 конфет больше сколько килограммов конфет другом пакете...

andrey43201

03.12.2020 01:39

Числа 880888,888088,88808,888880 расположены: 1)в порядке увеличевание 2) в порядке уменьшения 3) без всякого порядка...

ThisIsIlya

03.12.2020 01:39

Ва тарелок поровну разложили б яблок сколько яблок на каждой тарелке...

kalykova2004

03.12.2020 01:39

Напишите свой собственный рассказ о тех,над кем издевались. закончить со счастливым концом.!...

Юлькач

03.12.2020 01:39

Сделать обьемную паралеллепипед a)=10 см ,в=15 см с=20 см...

shirowa234567815690

10.12.2020 06:31

16/27 : 1 целую 11/ 27 = 3 цел.3/5 : 1/5 - 1 цел.5/12 х 6 = решите полностью! (а не только ответ)...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку