Такие уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, т.к. они имеют вид ax³+bx²+bx+a=0. Уравнения данного вида обладают некоторыми свойствами и одно из них то, что у них обязательно есть корень х= -1.
При решении, конечно же можно действовать методом группировки:
3x³+13x²+13x+3=0
(3x³+3)+(13x²+13x)=0
3(x³+1)+13x(x+1)=0
3(x+1)(x²-x+1)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3+13x)=0
(x+1)(3x²+10x+3)=0
x+1=0 или 3x²+10x+3=0
x₁=-1 D=64=8²
x₂=-1/3; x₃=-3
Но, можно сразу воспользоваться вышеуказанным свойством (х=-1) и разделить многочлен 3x³+13x²+13x+3 на х+1
3x³+13x²+13x+3 | x+1
3x³+3x² 3x²+10x+3
10x²+13x
10x²+10x
3x+3
3x+3
0
Таким образом, без громоздких преобразований получаем произведение множителей (x+1)(3x²+10x+3)=0
Можно разложить на множители и ещё быстрее, если воспользоваться схемой Горнера для деления многочлена:
(x²-2x)²+12(x-1)²-1=0
Замена: (x-1)²=t
x²-2x+1=t²
x²-2x=t²-1
(t²-1)²+12t-1=0
t⁴-2t²+1+12t-1=0
t⁴+10t²=0
t²(t²+10)=0
t²=0 или t²+10=0
t=0 t²= -10
t∈∅
Обратная замена: t=(x-1)²
(x-1)²=0
x-1=0
x=1
ответ: 1
3x³+13x²+13x+3=0
Такие уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, т.к. они имеют вид ax³+bx²+bx+a=0. Уравнения данного вида обладают некоторыми свойствами и одно из них то, что у них обязательно есть корень х= -1.
При решении, конечно же можно действовать методом группировки:
3x³+13x²+13x+3=0
(3x³+3)+(13x²+13x)=0
3(x³+1)+13x(x+1)=0
3(x+1)(x²-x+1)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3)+13x(x+1)=0
(x+1)(3x²-3x+3+13x)=0
(x+1)(3x²+10x+3)=0
x+1=0 или 3x²+10x+3=0
x₁=-1 D=64=8²
x₂=-1/3; x₃=-3
Но, можно сразу воспользоваться вышеуказанным свойством (х=-1) и разделить многочлен 3x³+13x²+13x+3 на х+1
3x³+13x²+13x+3 | x+1
3x³+3x² 3x²+10x+3
10x²+13x
10x²+10x
3x+3
3x+3
0
Таким образом, без громоздких преобразований получаем произведение множителей (x+1)(3x²+10x+3)=0
Можно разложить на множители и ещё быстрее, если воспользоваться схемой Горнера для деления многочлена:
3 13 13 3
-1 3 10 3 0 - этот коэффициенты трёхчлена
(x+1)(3x²+10x+3)=0
ответ: -3; -1; -1/3