Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить неопределённый интеграл (x-1)/(x^2-2x+2)(фото с интегралом приложено)

Ответ:

gels5344Inetka

10.10.2020 22:05

$\int \frac{x-1}{x^2-2x+2}\, dx=\int \frac{(x-1)\, dx}{(x-1)^2+1}=[\; t=x-1\; ,\; dx=dt\; ]=\int \frac{t\, dt}{t^2+1}=\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}=\frac{1}{2}\int \frac{d(t^2+1)}{t^2+1}=\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|+C=\frac{1}{2}\cdot ln(x^2-2x+2)+C$

0,0(0 оценок)

Ответ:

seminalydmila

10.10.2020 22:05

Перепишем подынтегральное выражение: $\frac{x-1}{(x-1)^{2}+1}$ ; Сделав замену u=x-1 , перепишем интеграл: $\int \frac{u}{u^{2}+1}du$ ; Рассмотрим треугольник с катетами и 1 и гипотенузой $\sqrt{u^{2}+1}$ ; Подынтегральное выражение теперь можно записать как $\frac{u\times1}{\sqrt{u^{2}+1}\sqrt{u^{2}+1}} =\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}\times \frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}$ ; Или в терминах одного из углов того треугольника: $\sin\theta\cos\theta$ ; Осталось только переписать дифференциал через $\theta$ . Имеем: $\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}=\sin\theta,\; \theta=\arcsin \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}$ ; Откуда $\frac{d\theta}{du}=\frac{1}{1+u^{2}} =\cos^{2}\theta \Leftrightarrow du=\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}$ ; Получаем интеграл: $\int \sin\theta\cos\theta\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}=\int \tan\theta d\theta =-\ln\cos\theta+\textbf{C}$ ; Замена к u: $-\ln(\cos\arcsin( \frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}))=-\ln(\sqrt{\frac{1}{u^{2}+1} })$ ; Наконец, замена к x: $-\ln(\sqrt{\frac{1}{(x-1)^{2}+1} })=-\frac{1}{2}\ln(\frac{1}{x^{2}-2x+2})=\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)$

$\frac{1}{2}\ln(x^{2}-2x+2)+\textbf{C}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

хорошист537

09.04.2023 07:19

1-го августа планируется взять кредит S рублей в банке на 2 года. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого последующего месяца сумма долга повышается на r%;...

yisupova54

13.08.2020 02:40

очень надо Знайдіть кути трикутники, якщо вони відносяться як 1:2:3А. 20, 40, 80,Б. 30, 60°; 90°;.В 40, 80°; 160°;:Г. 40°; 120°; 20°,...

витя10

16.07.2022 01:32

32) 24% от 65; 33) 7% от 42; 34) 130 % от 30. Найдите число, если: 35) 12% этого числа равны 96; 36) 28% этого числа равны 126; Решите БЫСТРЕЕ !...

prestigpad

25.04.2022 08:20

х = 5,115113у = 1,27696х - 4х = 12,00629у - 32,99 = 11,09...

1Shupy4ka

26.02.2023 17:08

Знайдіть корінь рівняння: 1) 3(x - 2)= x+2 2)5-2(x-1+4-x) 3)(7x+1)-(9x+3)=5...

myshkin02

22.03.2023 12:04

Найдите медиану ряда 8;18;16;14;23;21;9;12...

123443123

12.05.2022 19:29

Вычисли длину стороны ромба периметр которого 80,4...

sasha33427

20.05.2021 08:18

На складе есть 5 типов деталей. первых деталей 1/4 от всего количества, вторых 1/5 от всего количества, третьих и четвёртых по 1/8. сколько деталей каждого типа, если...

vikaplmplmpl

03.12.2021 10:46

Напиши номер уравнения,в котором x равен 26 1) x+38 - 66 2) x : 8 - 3 3) 70-x - 44 4) 50 x 36...

Сакураджи

20.12.2022 18:41

Втреугольнике авс, сторона ав = х см, выразите остальные стороны этого треугольника, если : а) вс в 3 раза больше стороны ав. б)ас на 4 см больше стороны ав. зная, что...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку