Доказать, что
а^2+1/2 ≥ a.
Доказательство:
Первый
Оценим разность:
(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;
Так как
(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и
(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.
Так как разность неотрицательна, то по определению
а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.
Неравенство доказано.
Второй
а^2+1/2 ≥ a
а^2 - a + 1/2 ≥ 0
Рассмотрим функцию
у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.
Т.к. старший коэффициент равен 1, 1>0, то ветви параболы направлены вверх.
D = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то
функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому
у > 0 при всех значениях а,
а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.
Доказать, что
а^2+1/2 ≥ a.
Доказательство:
Первый
Оценим разность:
(а^2+1/2) - a = а^2 - a + 1/2 = а^2 - 2•a•1/2 + 1/4 - 1/4 + 1/2 = (а - 1/2)^2 - 1/4 + 2/4 = (а - 1/2)^2 + 1/4 ;
Так как
(а - 1/2)^2 ≥ 0 при любом значении а, то и
(а - 1/2)^2 + 1/4 ≥ 1/4 ≥ 0.
Так как разность неотрицательна, то по определению
а^2+1/2 ≥ a при любых значениях а.
Неравенство доказано.
Второй
а^2+1/2 ≥ a
а^2 - a + 1/2 ≥ 0
Рассмотрим функцию
у = а^2 - a + 1/2 - квадратичная, графиком является парабола.
Т.к. старший коэффициент равен 1, 1>0, то ветви параболы направлены вверх.
D = 1 - 4•1•1/2 = 1 - 2 = - 1 < 0, то
функция нулей не имеет, парабола не пересекает ось абсцисс, а поэтому
у > 0 при всех значениях а,
а^2 - a + 1/2 > 0 при любом а, следовательно, и а^2 - a + 1/2 ≥ 0, неравенство а^2+1/2 ≥ a доказано.