Решить по теории вероятностей.
погода на некотором острове через длительные периоды времени становится то дождливой (состояние е1), то сухой (состояние е2). вероятности ежедневных изменений заданы матрицей:
0,7 0,3
0,4 0,6
вычислить:
а) матрицы прогноза погоды на данном острове на три дня вперед;
б) вероятность солнечной погоды в ближайшую субботу, если в среду погода была дождливой.
а) Матрицы прогноза погоды на данном острове на три дня вперед.
Для решения этой задачи нам необходимо использовать заданную нам матрицу ежедневных изменений. Данная матрица указывает вероятности перехода состояний погоды с одного дня на следующий.
Пусть P = [[0,7, 0,3], [0,4, 0,6]] - это наша матрица ежедневных изменений.
Для определения матрицы прогноза погоды на данный остров на три дня вперед мы должны возвести матрицу ежедневных изменений в третью степень.
P^3 = P * P * P
Давайте посчитаем эту степень:
P^2 = [[0,7, 0,3], [0,4, 0,6]] * [[0,7, 0,3], [0,4, 0,6]]
P^2 = [[0,7 * 0,7 + 0,3 * 0,4, 0,7 * 0,3 + 0,3 * 0,6], [0,4 * 0,7 + 0,6 * 0,4, 0,4 * 0,3 + 0,6 * 0,6]]
P^2 = [[0,49 + 0,12, 0,21 + 0,18], [0,28 + 0,24, 0,12 + 0,36]]
P^2 = [[0,61, 0,39], [0,52, 0,48]]
Теперь вычислим итоговую третью степень:
P^3 = P^2 * P
P^3 = [[0,61, 0,39], [0,52, 0,48]] * [[0,7, 0,3], [0,4, 0,6]]
P^3 = [[0,61 * 0,7 + 0,39 * 0,4, 0,61 * 0,3 + 0,39 * 0,6], [0,52 * 0,7 + 0,48 * 0,4, 0,52 * 0,3 + 0,48 * 0,6]]
P^3 = [[0,427 + 0,156, 0,183 + 0,234], [0,364 + 0,192, 0,156 + 0,288]]
P^3 = [[0,583, 0,417], [0,556, 0,444]]
Итак, получаем матрицу прогноза погоды на данном острове на три дня вперед:
P^3 = [[0,583, 0,417], [0,556, 0,444]]
б) Вероятность солнечной погоды в ближайшую субботу, если в среду погода была дождливой.
Для решения этой задачи также используем матрицу ежедневных изменений. Задача требует найти вероятность солнечной погоды в субботу, учитывая, что в среду была дождливая погода.
Пусть R - это матрица вероятностей перехода между состояниями погоды после одного дня с дождем. То есть R будет равно первой строке матрицы P
R = [0,7, 0,3]
Для нахождения искомой вероятности воспользуемся следующим выражением:
вероятность солнечной погоды в субботу = R * P^2 * R^T
где R^T - транспонированная матрица R.
Вычислим это выражение:
вероятность солнечной погоды в субботу = [0,7, 0,3] * [[0,61, 0,39], [0,52, 0,48]] * [0,7, 0,3]^T
вероятность солнечной погоды в субботу = [0,7 * 0,61 + 0,3 * 0,52, 0,7 * 0,39 + 0,3 * 0,48] * [0,7, 0,3]
вероятность солнечной погоды в субботу = [0,427 + 0,156, 0,273 + 0,144] * [0,7, 0,3]
вероятность солнечной погоды в субботу = [0,583, 0,417]
Итак, получаем, что вероятность солнечной погоды в субботу, если в среду погода была дождливой, равна 0,583 или 58,3%.
Надеюсь, мое решение понятно и полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!