Почему именно кот ходит по цепи?

Нвыерное, по умолчанию предполагают, что дуб = кот. Иначе было бы "цепь на дубе и коте". Да и ходить по цепи, на которой привязан - челлендж даже для кота.

Если серьёзно, то это просто рифмы Пушкина не надо искать там смысла. Ему так понравилось больше.