Жандармерия занимается политическим сыском, арестами и дознаниями государственных преступников. Полиция занимается уголовными преступлениями; охраной общественного порядка, охраной собственности и обеспечением общественной безопасности.
Строго говоря, изначально, жандармы и жандармерия - это королевская лейб-гвардия. А полиция - соответственно - служители правопорядка. Уже гораздо позднее, в некоторых странах, жандармерия взяла на себя функции полиции, в других - так и осталась отдельной структурой, а в третьих, например - в России, была упразднена полностью.
Полиция занимается уголовными преступлениями; охраной общественного порядка, охраной собственности и обеспечением общественной безопасности.