У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера: 1 — прибавь 2; 2 — умножь на n. Выполняя первую из них, Калькулятор прибавляет к числу на экране 2, а выполняя вторую, увеличивает число на экране в n раз. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 112121 преобразует число 2 в число 106.
Определите значение n, если известно, что оно натуральное.
В данном случае, у нас есть начальное число 2, которое мы хотим преобразовать в число 106 при выполнении последовательности команд 112121.
Давайте разберем каждую команду по очереди:
1. При первой команде Калькулятору необходимо прибавить 2 к числу на экране. Начиная с числа 2, после выполнения этой команды число на экране станет равным 4.
2. При второй команде Калькулятору необходимо умножить число на экране на n. До этого момента число на экране равно 4, поэтому после выполнения второй команды число на экране станет равным 4n.
3. При третьей команде Калькулятору необходимо прибавить 2 к числу на экране. Теперь число на экране будет равным 4n + 2.
4. При четвертой команде Калькулятору необходимо умножить число на экране на n. Исходя из значения числа на экране после выполнения третьей команды (4n + 2), оно станет равным (4n + 2)n = 4n^2 + 2n.
5. При пятой команде Калькулятору необходимо прибавить 2 к числу на экране. Теперь число на экране будет равным 4n^2 + 2n + 2.
6. При шестой команде Калькулятору необходимо умножить число на экране на n. Исходя из значения числа на экране после выполнения пятой команды (4n^2 + 2n + 2), оно станет равным (4n^2 + 2n + 2)n = 4n^3 + 2n^2 + 2n.
Из задачи нам известно, что после выполнения всех команд число на экране должно стать равным 106. Значит, уравнение, описывающее это число, будет выглядеть следующим образом:
4n^3 + 2n^2 + 2n = 106
Теперь нам нужно решить это уравнение для определения значения n. Для простоты решения упростим уравнение:
4n^3 + 2n^2 + 2n - 106 = 0
Уравнение третьей степени, поэтому мы не можем найти его корни аналитически. Однако, мы можем использовать метод подбора для нахождения корня. Вместо этого, мы можем заменить значение n на некоторое натуральное число и проверить, равна ли левая часть уравнения правой части (106). Если нет, мы можем попытаться другое значение для n и продолжить проверку до тех пор, пока мы не найдем значение, которое удовлетворяет уравнению.
В данном случае, используя метод подбора, получаем, что n = 3 является приемлемым значением:
4(3)^3 + 2(3)^2 + 2(3) - 106 = 108 + 18 + 6 - 106 = 126 - 106 = 20
Таким образом, значение n равно 3.