План города представляет собой прямоугольник размером n×m×километров, разбитых на кварталы — квадраты со стороной 1 километр. Между кварталами, а также по границе города проложены дороги. Например, если n = 2, m = 3, то план дорог следующий.
Определите суммарную длину всех дорог в городе в километрах. Единицу измерения указывать не нужно.
ответом к этой задаче является некоторое выражение, которое может содержать целые числа, переменные n и m, операции сложения (обозначается «+»), вычитания (обозначается «-»), умножения (обозначается «*») и круглые скобки для изменения порядка действий. Запись вида «2n» для обозначения произведения числа 2 и переменной n неверная, нужно писать «2 * n».
Для решения этой задачи, нужно посчитать суммарную длину всех дорог в городе. Заметим, что по границе города проходят n дорог вдоль горизонтали и m дорог вдоль вертикали.
При этом, внутри города, между каждым квадратом и его соседним слева или сверху проложена по одной дороге, так как каждый квартал имеет одну сторону, к которой соседствует другой квартал. Таким образом, внутри города, между каждым блоком кварталов находится (n-1) дорог вдоль горизонтали и (m-1) дорог вдоль вертикали.
Таким образом, суммарная длина всех дорог в городе складывается из длин дорог, идущих вдоль границы города и длин дорог, идущих между кварталами внутри города.
Длина дорог вдоль границы города можно выразить следующим образом:
2n (длина дорог вдоль горизонтали) + 2m (длина дорог вдоль вертикали).
Длина дорог между кварталами внутри города можно выразить следующим образом:
(n-1) * (m-1) * 2 (можно представить как произведение количества дорог, идущих вдоль горизонтали и количества дорог, идущих вдоль вертикали, умноженное на 2, так как между каждым блоком кварталов проложены по две дороги).
Таким образом, общая сумма длин всех дорог в городе составляет:
(2n + 2m) + (n-1) * (m-1) * 2.
Решая эту формулу, получаем выражение для суммарной длины всех дорог в городе.
При этом, внутри города, между каждым квадратом и его соседним слева или сверху проложена по одной дороге, так как каждый квартал имеет одну сторону, к которой соседствует другой квартал. Таким образом, внутри города, между каждым блоком кварталов находится (n-1) дорог вдоль горизонтали и (m-1) дорог вдоль вертикали.
Таким образом, суммарная длина всех дорог в городе складывается из длин дорог, идущих вдоль границы города и длин дорог, идущих между кварталами внутри города.
Длина дорог вдоль границы города можно выразить следующим образом:
2n (длина дорог вдоль горизонтали) + 2m (длина дорог вдоль вертикали).
Длина дорог между кварталами внутри города можно выразить следующим образом:
(n-1) * (m-1) * 2 (можно представить как произведение количества дорог, идущих вдоль горизонтали и количества дорог, идущих вдоль вертикали, умноженное на 2, так как между каждым блоком кварталов проложены по две дороги).
Таким образом, общая сумма длин всех дорог в городе составляет:
(2n + 2m) + (n-1) * (m-1) * 2.
Решая эту формулу, получаем выражение для суммарной длины всех дорог в городе.