Если провести перпендинуляр из центра квадрата на его сторону будет ли это серединой стороны? и почему.

Конечно! Т.к. мы из ЦЕНТРА проводим линию, составляющую прямой угол с другой прямой линией (стороной квадрата). Ну или можно долго доказывать, если знать, что диагональ квадрата равна сторона квадрата умноженная на корень из двух.