Довести что если две медианы триугольника ровные то триугольник ровностороний.

Дано:ΔАВС, АН и СК - медианы, АН=СК. Доказать: АВ=ВС.

Решение. Рассмотрим треугольник АОС, ОС=2/3 КС, а АО= 2/3АН⇒АО=ОС, ΔАОС - равнобедренный, его углы ОАС и ОСА равны.

Теперь рассмотрим треугольники АКС и СНА. В них АС - общая сторона, АН= СК по условию и ∠ОАС=∠ОСА по доказанному. Треугольники равны по первому признаку равенства треугольников⇒АК=СН⇒АВ=СВ.