Втреугольнике abc проведена медиана bm.прямая - вопрос №8808256 от katyafedorenko1 05.12.2021 00:49

Question

Геометрия: Втреугольнике abc проведена медиана bm.прямая проходящая через точку a,пересекает медиану в точке k,а сторону bc-в точке d,при этом bk: km=3: 2.найти отношение площади треугольника abk к площади четырехугольник kdcm

katyafedorenko1 · Answer

Как известно, медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (у них общая высота и равные основания). Площадь BAK равна 3/5 площади BAM (у них общая высота, а сторона BK по условию относится к стороне BM как 3/5).

Чтобы узнать, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь четырехугольника KDCM, найдем, какую часть площади треугольника MCB составляет площадь треугольника DBK. Для этого воспользуемся теоремой Менелая, применив ее к треугольнику CBM и прямой DK:

$\frac{CA}{AM}\cdot \frac{MK}{KB}\cdot \frac{BD}{DC}=1;\ 
\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{BD}{DC}=1;\ 
\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}.$

Далее, $\frac{S_{DBK}}{S_{CBM}}=
\frac{\frac{1}{2}DB\cdot BK\cdot \sin DBK}{\frac{1}{2}CB\cdot BM\sin CBM}=
\frac{3\cdot 3}{7\cdot 5}=\frac{9}{35}.$

Поэтому $\frac{KDCM}{S_{CBM}}=\frac{26}{35};\ 
\frac{S_{ABK}}{S_{KDCM}}=\frac{3/5}{26/35}=\frac{21}{26}.$

ответ: $\frac{21}{26}$