Втреугольнике abc даны длины сторон: ab=c, ac=b, bc = а. через точку о пересечения биссектрис внутренних углов треугольника проведены прямые, параллельные сторонам треугольника найти длины отрезков этих прямых, заключённых внутри треугольника авс. указание: воспользуйтесь следующим свойством треугольника: точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.
ABC-треугольник , опустим высоту CH на сторону AB и AF на сторону BC , центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, положим что DE || AC опустим перпендикуляры OL=r и OG=r на стороны AB и BC соответственно (r-радиус вписанной окружности).
Из подобия треугольников ODL и CAH получаем
DO/LO = AC/CH = 1/sin(BAC)
DO=r/sin(BAC)
Но r=S/p = AB*AC*sinA/(AB+AC+BC) значит
DO=AB*AC/(AB+AC+BC) = b*c/(a+b+c)
Аналогично
OE/OG=AC/CF=1/sin(ACB)
OE=r/sin(ACB)
OE=AC*BC/(AC+BC+AB) = a*b/(a+b+c)
Значит DE=DO+OE=b(a+c)/(b+a+c)
Остальные так же, отрезок параллельный AB || c(a+b)/(a+b+c), BC || a(b+c)/(a+b+c)