Точки а(1; 2; -3) и в(7; 2; 5) лежат на сфере радиуса 13. найти расстояние от центра сферы до прямой ав.

Так как в задании не указан центр сферы, то примем его в начале координат: О(0; 0; 0).
Находим уравнение прямой АВ:

Из уравнения прямой получимs  = {6; 0; 8}- направляющий вектор прямой; A = (1, 2, -3)- точка лежащая на прямой.Тогда OA  = {1 - 0; 2 - 0; -3 - 0} = {1; 2; -3}
OA ×s =   |i      j      k |
               |1     2    -3   
               | 6    0     8 |  =
= i (2·8 - (-3)·0) - j (1·8 - (-3)·6) + k (1·0 - 2·6) =
= i (16 - 0) - j (8 - (-18)) + k (0 - 12) = {16; -26; -12}.
d  = |M0M1×s|/|s| = √(16² + (-26)² + (-12)²)/√(6² + 0² + 8²) = √1076/√100 =
    = √269/5 ≈ 3,280244.

Расстояние между точками
AB² = (1-7)² + (2-2)² + (-3-5)²
AB² = 6² + 0² + 8²
AB² = 36 + 64 = 100
AB = √100 = 10
точки H - середина АВ
О - середина сферы
AH = 1/2*AB = 5
AO = 13
AB⊥OH
 и по Пифагору
AH² + OH² = AO²
5² + OH² = 13²
OH² = 169 - 25 = 144
OH = √144 = 12