Если даны только три стороны треугольника, то для начала определимся с типом треугольника по теореме о неравенстве треугольника. Пусть a=7, b=17 и с=8√2. В нашем случае 17²>7²+(8√2)², следовательно треугольник тупоугольный с тупым углом В. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника p=12+4√2. S=√[(12+4√2)(5+4√2)(4√2-5)(12-4√2)] = √[(12²-(4√2)²)((4√2)²-5²)] =28 ед². С другой стороны, S=(1/2)*a*b*Sin(a^b). Отсюда Sin(<C)=2S/(a*b)=56/(7*17)≈0,47. <C=arcSin0,47≈28°. А вот теперь уже можно и по теореме синусов: с/SinC= a/SinA = b/Sinb. SinA=a*SinC/c = 7*0,47/(8√2)≈0,29. <A=arcSin0,29≈17°. SinB=b*SinC/c = 17*0,47/(8√2) ≈ 0,7. <B=arcSin0,7≈45° = 135° (так как Sin(180°-a)=Sina, а по сумме углов треугольника <B - тупой). Но можно и так: Sin(<А)=2S/(b*с)=56/(17*(8√2)=≈0,29. <А=arcSin(0,29)=17°. Sin(<В)=2S/(a*с)=56/(7*(8√2). <B=arcSin√2/2=45°=135°. И так как треугольник тупоугольный, <В=135°. ответ: <A=17°, <B=135° и <C=28°.
Пусть a=7, b=17 и с=8√2.
В нашем случае 17²>7²+(8√2)², следовательно треугольник тупоугольный с тупым углом В.
Найдем площадь треугольника по формуле Герона:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр треугольника p=12+4√2.
S=√[(12+4√2)(5+4√2)(4√2-5)(12-4√2)] = √[(12²-(4√2)²)((4√2)²-5²)] =28 ед².
С другой стороны, S=(1/2)*a*b*Sin(a^b). Отсюда
Sin(<C)=2S/(a*b)=56/(7*17)≈0,47. <C=arcSin0,47≈28°.
А вот теперь уже можно и по теореме синусов:
с/SinC= a/SinA = b/Sinb.
SinA=a*SinC/c = 7*0,47/(8√2)≈0,29. <A=arcSin0,29≈17°.
SinB=b*SinC/c = 17*0,47/(8√2) ≈ 0,7. <B=arcSin0,7≈45° = 135° (так как
Sin(180°-a)=Sina, а по сумме углов треугольника <B - тупой).
Но можно и так:
Sin(<А)=2S/(b*с)=56/(17*(8√2)=≈0,29. <А=arcSin(0,29)=17°.
Sin(<В)=2S/(a*с)=56/(7*(8√2). <B=arcSin√2/2=45°=135°. И так как треугольник тупоугольный, <В=135°.
ответ: <A=17°, <B=135° и <C=28°.