Периметр прямо угольного треугольника = 40 см а радиус - вопрос №826557540 от Ckyka 02.06.2023 03:02

Question

Геометрия: Периметр прямо угольного треугольника = 40 см а радиус вписанной в этот треугольник окружности = 0,5 см. найти радиус описанной около треугольника окружности.

Ckyka · Answer

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: $r=\dfrac{S}{p}$ .
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Перепишем формулу: $r=\dfrac{S}{p}= \dfrac{ \dfrac{1}{2} ab}{ \dfrac{a+b+c}{2} }=\dfrac{ab}{a+b+c}$ .
(Здесь

и

- катеты,

- гипотенуза.)

Преобразуем числитель: $ab= \dfrac{2ab}{2} =\dfrac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{2} = \dfrac{(a+b-c)(a+b+c)}{2}$ .

Подставляем:
$r=\dfrac{ \dfrac{1}{2} (a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}= \dfrac{1}{2} (a+b-c) .$

Значит, a+b-c=2r

. Но в то же время a+b+c=2p=P

.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases}
 & a+b+c=40 \\ 
 & a+b-c=1 
\end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем 2c=39

, откуда

см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. Получаем, что R=19,5:2=9,75

см.