Докажите что если действительные положительные числа a,b,c. являются длинами сторон треугольника и удовлетворяют условию а^3+b^3+c^3=ab(а+b)-bc(b+c)+аc(а+c),то треугольник прямоугольний.
Раскрываем скобки и группируем слагаемые с a^2, b^2, c^2: a^3+b^3+c^3=a^2*b+a^2*c-b^2*c-c^2*b+b^2*a+c^2*a, a^2(a-b-c)+b^2(b+c-a)+c^2(c+b-a)=0, Переносим первое слагаемое и делим на b+c-a (это число положительно, так как a,b,c - стороны треугольника). Получаем a^2=b^2+c^2, что и требовалось
Раскрываем скобки и группируем слагаемые с a^2, b^2, c^2: a^3+b^3+c^3=a^2*b+a^2*c-b^2*c-c^2*b+b^2*a+c^2*a, a^2(a-b-c)+b^2(b+c-a)+c^2(c+b-a)=0, Переносим первое слагаемое и делим на b+c-a (это число положительно, так как a,b,c - стороны треугольника). Получаем a^2=b^2+c^2, что и требовалось