Высоты треугольника равны 12,15,20 см. найти площадь треугольника.

S=1/2*12*a=1/2*15*b=1/2*c*20
S=6a=15/2b=10c
a=5c/3
b=4c/3
Найдем полупериметр: (5с/3+4с/3+c)/2 = 2c
По формуле Герона: S=sqrt(2c*c/3*2c/3*c) = (2c^2)/3
Приравняем площади: 10с=(2c^2)/3
c=15
a=5*15/3=25
b=4*15/3=20

Площадь равна: S=6a=6*25=150 (кв. см)

12, 15, 20 - высоты, опущенные на стороны a, b, c⇒2S=12a=15b=20c. Обозначим эти общие значения через 60t⇒a=5t; b=4t; c=3t⇒a²=b²+c²⇒ по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный; a - гипотенуза, b и c - катеты. Высоты, опущенные на катеты, совпадают с катетами. Значит, катеты треугольника равны 15 и 20⇒S=15·20/2=150

ответ: 150