Дан произвольный треугольник. а) докажите, что через любую точку, лежащую в плоскости этого треугольника, можно провести прямую, которая делит его площадь пополам. б) для каких точек плоскости такая прямая может быть выбрана единственным образом? в) сколько существует точек плоскости, в которых можно провести более одной прямой, делящей площадь треугольника пополам? г.) каково максимально возможное число прямых, проходящих через одну точку и делящих площадь треугольника пополам. пример и доказательство максимальности. пункт (а) я решил: в треугольнике abc проведём медиану bm. она делит площадь треугольника abc пополам. отметим произвольную точку k между вершиной c и точкой m. проведём прямую bk и прямую mp параллельно bk. тогда площади треугольников kbm и kbp равны, т.к. у них общая сторона bk и равные высоты (т.к. mp и bk параллельны). площадь четырёхугольника bckp равна sbck+skbp. т.к. skbp=skbm, то sbckp=sbck+skbm. но эта сумма есть площадь треугольника mbc и равна 0,5*sabc (т.к. bm - медиана треугольника abc). значит прямая kp делит площадь треугольника abc пополам. , , с пунктами (б), (в), (г)!
Здесь надо рассмотреть три случая.
1) Точка М, через которую проходит прямая, делящая площадь треугольника пополам, лежит на границе треугольника.
2) Точка M лежит внутри треугольника.
3) Точка М лежит вне треугольника.
Все случаи рассматриваются в приложениях - сколько их будет, пока не знаю.