Точки o и c размещены в разных полуплоскостях относительно прямой ab. известно, что ao=ob и угол aob=2(180-угол acb). докажите что точки a, b и c лежат на окружности с центром в точке o.

Рассмотрим две окружности.
Первая:
 Окружность с центром O и радиусом AO=OB
Дуга угла AOB = 360 - 2Альфа

Вторая:
 Окружность с любым центром, где A,B и C принадлежат окружности.
Дуга угла ACB = 2Альфа, т.к. по теореме о вписанном угле угол измеряется половиной дуги.

Заметим, что если сложить дуги, то получится 360°
360° - 2альфа + 2альфа = 360°
Точки A и B - общие. Значит центр второй окружности и есть точка O.

Если вы что-то не поняли или нашли ошибку, то напишите автору.