На сторонах ab и ad квадрата abcd выбраны точки p и q так, что ap: pb=dq: qa=1: 2. докажите, что прямая cp перпендикулярна прямой bq.

Пусть прямые CP и BQ пересекаются в точке O. Треугольники BAQ и CBP равны по двум катетам: BC=AB как стороны квадрата, и BP=AQ=(2/3)AB. Значит,  ∠ABQ=∠BCP=х. Значит, из треугольника BPC получаем ∠BPС=90°-х, а из треугольника BPO получаем ∠BPС=180°-х-∠BOP, т.е. 90°-х=180°-х-∠BOP, откуда ∠BOP=90°, что и требовалось.