Докажите, что в пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны, всегда можно вписать сферу.

Да, можно, т. к. пирамида, у которой все двугранные углы при основании равны, основание высоты совпадает с центром вписанной в основание окружности .
Подробное доказательство этого факта изложено, например, здесь: http://www.uznateshe.ru/shar-vpisannyiy-v-piramidu/