Решите на координатной плоскости дана точка м = (2; 4). рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси оу и лежат на дуге параболы у = зх², выделяемой условием — 1 ≤ х ≤ 1, а точка м является серединой одной из сторон. среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. найти эту площадь.
длина аснования |2х|
точка М лежит на середине стороны АС (или ВС) значит точка М лежит на средней линии треугольника АВС расстояние от прямой, содержащей основание AB, до точки М равно половине высоты треугольника и равно 4-y , где у - координата точек основания.
искомая площадь вычисляется по формуле
S(х) = АВ*h/2 = |2х*(4-3*х^2)|
искомая площадь - максимальная из возможных - ищем локальный экстремум
S`(x) =8-18*х^2=0 при х^2=8/18=4/9 и |x|=(2/3)
S= |2х*(4-3*х^2)| = 2*(2/3)*(4-3*4/9) = 32/9 = 3,(5) ~ 3,6