Довести, що якщо діагоналі вписаного в коло чотирикутника взаємно перпендикулярні, то сума квадратів протилежних сторін чотирикутника дорівнює квадрату діаметра цього кола
Пусть ABCD - наш четырехугольник. sin(∠DAC)=sin(90°-∠ADB)=cos(∠ADB)=cos(∠ACB) т.к. диагонали перпендикулярны и углы ADB и АСВ равны как вписанные.
По теореме синусов 2R=AB/sin(∠ACB) и 2R=DC/sin(∠DAC), откуда AB=2R·sin(∠ACB), DC=2R·sin(∠DAC)=2R·cos(∠ACB). Значит AB²+DC²=4R²(sin²(∠ACB)+cos²(∠ACB))=4R².
sin(∠DAC)=sin(90°-∠ADB)=cos(∠ADB)=cos(∠ACB) т.к. диагонали перпендикулярны и углы ADB и АСВ равны как вписанные.
По теореме синусов 2R=AB/sin(∠ACB) и 2R=DC/sin(∠DAC), откуда
AB=2R·sin(∠ACB), DC=2R·sin(∠DAC)=2R·cos(∠ACB). Значит
AB²+DC²=4R²(sin²(∠ACB)+cos²(∠ACB))=4R².