Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный.

Пусть внешний угол X - смежный с углом A треугольника АBC. Тогда верно равенство (в градусах):
X + A = 180
X = 180 - A
В то же время, конечно, общеизвестно, что A + B + C = 180. Отсюда:
B + C = 180 - A = X
По условию X в два раза больше угла, не смежного с ним (это или B, или С, пусть будет B). Тогда:
X = 2 B
B + C = 2 B
C = B
Мы доказали, что при этом условии углы B и C должны быть равны, а значит - треугольник равнобедренный.