Около остроугольного треугольника авс описана окружность - вопрос №5018564 от tinytigerkar 25.10.2021 20:52

Question

Геометрия: Около остроугольного треугольника авс описана окружность с центром о. ан высота этого треугольника. ав=15,ас=16, 5ан=6ао. найдите площадь треугольника оас.

tinytigerkar · Answer

Проведём ON ⊥ AC ⇒ ON - биссектриса и медиана равнобедренного треугольника AOC, тогда ∠AON = 0.5∠AOC. Так как ∠ABC - вписанный, то он равен половине центрального угла АОС, т.е. ∠ABC = 0.5∠AOC ⇒ ∠AON = ∠ABC, следовательно, ΔAON ~ ΔABH (по двум углам). Из подобия треугольников следует, что $\sf \dfrac{AN}{AH}=\dfrac{AO}{AB}$

$\sf \dfrac{8}{\dfrac{6AO}{5}}=\dfrac{AO}{15}~~\Rightarrow~~~ AO^2=100~~\Rightarrow~~ AO=10;$

Из прямоугольного треугольника AON по теореме Пифагора

$\sf ON=\sqrt{AO^2-AN^2}=\sqrt{AO^2-(AC/2)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$

Площадь треугольника AOC:

$\sf S_{зAOC}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot ON=\dfrac{1}{2}\cdot16\cdot6=48$ кв. ед.

ответ: 48 кв. ед.

Около остроугольного треугольника авс описана окружность с центром о. ан высота этого треугольника.