Площадь осевого сечения равностороннего конуса - вопрос №4695136 от ZeepFire 21.07.2022 22:52

Question

Геометрия: Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна a. вычислить его обьем

ZeepFire · Answer

РАВНОСТОРОННИЙ КОНУС —прямой круговой конус, образующая которого равна диаметру основания конуса, или сечение такого конуса является равносторонним треугольником.

Обозначим образующую и диаметр конуса за d.

Сечение равностороннего треугольника равно:
$a= \frac{d^2 \sqrt{3} }{4}$
Отсюда получаем диаметр основания конуса:
$d= \sqrt{ \frac{4a}{ \sqrt{3} }} = \frac{2 \sqrt{a} }{ \sqrt[4]{3} }$
Высота конуса равна высоте равностороннего треугольника со стороной d: $H= \frac{d \sqrt{3} }{2}$ $= \frac{2 \sqrt{a} * \sqrt{3} }{ \sqrt[4]{3}*2 } = \sqrt{a}* \sqrt[4]{3} .$ .
Площадь основания с диаметром, равным d, равна: $So= \frac{ \pi d^2}{4} = \frac{ \pi 4a}{ \sqrt{3} }$
Тогда объём конуса равен $V= \frac{1}{3}*So*H= \frac{1}{3}* \frac{ \pi 4a \sqrt{a}* \sqrt[4]{3} }{3 \sqrt{3} } = \frac{ \pi 4a \sqrt{a} }{3 \sqrt[4]{3} }$