Решить , , заранее cередина диагонали ac четырехугольника - вопрос №4449682 от katekurmakaeva 10.06.2021 09:15

Question

Геометрия: Решить , , заранее cередина диагонали ac четырехугольника abcd, вписанного в окружность,лежит на диагонали bd . доказать , что ab^2+bc^2+cd^2+da^2=2bd^2

katekurmakaeva · Answer

так как четырехугольник вписанный , то по теореме косинусов $BD^2 = AB^2+AD^2-2*AB*AD*cosa \\
BD^2 = BC^2+CD^2+2*BC*CD*cosa \\ 
$
Положим что точка пересечения диагоналей есть точка

откуда из подобия треугольников $
 \Delta BOC ; \Delta AOD$
$\frac{BO}{OC} = \frac{AB}{CD} \\ 
\frac{BO}{OC} = \frac{BC}{AD} \\
 AB*AD=BC*CD$
откуда сложим первые два выражения
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=2BD^2