Вписанная в треугольник abc окружность касается сторон ав, bc и ас в точках k l m соответственно. найти kl, если ам=2, мс=3 и уголс=π/3. как решить эту ? ответ: 5
Радиус окружности (OK = OL = OM = r) находится легко r = 3*ctg(π/6) = √3; вообще треугольник CLM равносторонний, и хорда LM = 3 соответствует дуге 2π/3; в решении это не играет роли. Далее, из теоремы косинусов для треугольника ABC (x + 2)^2 = (x + 3)^2 + 5^2 - 2*5*(x + 3)*(1/2); где x = BK = BL; Отсюда x = 5; Ясно, что половина KL является высотой в прямоугольном треугольнике BKO с катетами OK = √3 и BK = 5; BO = √(3 + 25) = 2√7; KL = 2*OK*BK/BO = 2*√3*5/(2*√7) = 5√(3/7);
r = 3*ctg(π/6) = √3;
вообще треугольник CLM равносторонний, и хорда LM = 3 соответствует дуге 2π/3; в решении это не играет роли.
Далее, из теоремы косинусов для треугольника ABC
(x + 2)^2 = (x + 3)^2 + 5^2 - 2*5*(x + 3)*(1/2); где x = BK = BL;
Отсюда x = 5;
Ясно, что половина KL является высотой в прямоугольном треугольнике BKO с катетами OK = √3 и BK = 5;
BO = √(3 + 25) = 2√7;
KL = 2*OK*BK/BO = 2*√3*5/(2*√7) = 5√(3/7);