Две окружности с центрами в точках о1 и о2 пересекаются в точках а и а1, а отрезки ав и ас - их диаметры. найдите величины углов аа1в и аа1с и докажите, что точки в, а1 и с лежат на одной прямой.

Рассмотрим угол АА1В. Это вписанный угол в окружность с центром О1, который опирается на полуокружность АВ. Следовательно, он равен 90°. 
Рассмотрим угол АА1С. Это также вписанный угол в окружность с центром О2, который опирается на полуокружность АС. Следовательно, он тоже равен 90°.
<AA1B+<AA1C=90+90=180°, т.е. угол ВА1С - развернутый. Обе стороны развернутого угла лежат на одной прямой. Т.е. точки В, А1 и С лежат на одной прямой.