1)периметр треугольника абс равен 18, его углы а и б связаны соотношением: 2(сosа + cosб) = 3+2cos(а+б). найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника абс.
A + B = 180° – C, cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.
Данное равенство переписывается так:
cos A + cos B + cos C = ³⁄₂. (1)
Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.
Для произвольного треугольника
cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B), (2) cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C. (3)
Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что
cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.
Следовательно,
cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C = = –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.
Значит, для любого треугольника
cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,
причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.
Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна
cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.
Данное равенство переписывается так:
cos A + cos B + cos C = ³⁄₂. (1)
Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.
Для произвольного треугольника
cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B), (2)
cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C. (3)
Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что
cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.
Следовательно,
cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C =
= –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.
Значит, для любого треугольника
cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,
причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.
Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна
¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.