Плоскости альфа и бета параллельны. прямая а лежит в плоскости а. через точку в, лежащую в плоскости бета, проведена прямая b, параллельная a докажите, что b лежит в плоскости бета
Прямая а параллельна прямой b. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Проведем плоскость γ через прямые а и b.
Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым.
Предположим, что прямая b не лежит в плоскости β. Тогда плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а (так как прямая а лежит в обеих плоскостях), а плоскость β по прямой с. Тогда с║а.
Так как точка В лежит на прямой b, то эта точка лежит и в плоскости γ и в плоскости β. Получается, что через точку В проведены две прямые, параллельные прямой а, а это невозможно. Значит прямая b лежит в плоскости β.
Прямая а параллельна прямой b. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Проведем плоскость γ через прямые а и b.
Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым.
Предположим, что прямая b не лежит в плоскости β. Тогда плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а (так как прямая а лежит в обеих плоскостях), а плоскость β по прямой с. Тогда с║а.
Так как точка В лежит на прямой b, то эта точка лежит и в плоскости γ и в плоскости β. Получается, что через точку В проведены две прямые, параллельные прямой а, а это невозможно. Значит прямая b лежит в плоскости β.