Каждая из прямых a и b параллельна плоскости альфа. следует ли отсюда параллельность прямых a и b?

Нет, не следует. Нам не известно взаимное расположение прямых a и b, и мы не можем его узнать.

Если a и b параллельны одной прямой (а не одной плоскости), то a║b - по транзитивности параллельных прямых в пространстве.