Вправильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3. боковые грани наклонены к основанию под углом 45 градус. найдите объем пирамиды?

SABCD - прав. пирамида. Проведем SK перп CD, ОК - также перп CD. Проведем ОМ перп. SK/. ОМ = 3, Угол SKO = 45 град.

Из тр. ОМК:

ОК = ОМ/sin45 = 3кор2

Тогда сторона основания: а = 6кор2.  Sосн = a^2 = 72.

Найдем высоту пирамиды:

SO = OK tg45 = 3кор2.

Объем пирамиды: V = Sосн*h/3 = 72кор2.

ответ: 72кор2

Пусть SABCD - данная пирамида. О-центр основания. ОН перпенд. (SАВ) и равно 3. Угол SPO=45°(OP перпенд. АВ)

1. Находим ОР.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОНР, угол ОНР=90°.

Угол НОР=угол НРО = 45°

НР=ОН=3

По теореме Пифагора: ОР²=НР²+ОН²=18

ОР=3√2 

2. Находим высоту пирамиды SO.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOР, угол SOР=90°.

Угол РSO=угол SРO=45°⇒ ΔSOР-равнобедренный.

SO=OР=3√2

2. Находим сторону основы.

ОР является радиусом вписанной окружности. Значит, r=AB/2.

AB=2r=2·3√2=6√2

3. Находим площадь основания.

S=a²

S=(6√2)²=72 (кв.ед.)

4. Находим объём пирамиды.

V=1/3 So h

V=1/3·72·3√2 = 72√2 (куб.ед.)

ответ. 72√2 куб.ед.