Докажите, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.

Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза.
1) В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

Значит диаметр вписанной окружности равен: 
2) Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен:

Значит диаметр описанной окружности равен: 
3) Сумма диаметров:  - сумма катетов.
Т.е. сумма диаметров вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов, что и требовалось доказать.