.(Втреугольнике две медианы, равные 9 и 12 см ,пересекатся под прямым углом. вычислите стороны треугольника.).

Пусть дан треугольник ABC и медианы AK и СМ, AK перпендикулярна CM, т. О – точка пересечения медиан

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины

Пусть x- коэффициент пропорциональности, тогда

           2x+x=12 => 3x=12 =>x=4 => AO=8,OK=4

           2x+x=9 => 3x=9 => x=3 => СO=6,OM=3

Из прямоугольного треугольника AOC:

               (AC)^2=(AO)^2+(CO)^2=8^2+6^2=64+36=100

                AC=10

Из прямоугольного треугольника AOM:

                 (AM)^2=(AO)^2+(OM)^2=8^2+3^2=64+9=73

                  AM=sqrt(73)

                  AM=MB

                  AB=2sqrt(73)

Из прямоугольного треугольника COK

                  (CK)^2=  (CO)^2+(OK)^2=6^2+4^2=36+16=52

                    CK=sqrt(52)

                    CK=KB

                     CB=2sqrt(52)=4sqrt(13)     

То есть стороны равны:

                                    AC=10

                                    AB=2sqrt(73)

                                    CB=4sqrt(13)