Радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, равен 3, а площадь трапеции равна 108. найдите расстояние между точками касания окружности боковых сторон трапеции.

Дана трапеция АВСD: АВ=CD. S=108
В трапецию вписана окружность  (О: 3)- центр О, радиус 3.


Найти КТ.

Решение. Площадь трапеции 
Высота трапеции равна диаметру окружности. h=6
Значит a+b=108:3, a+b=36

По свойству окружности вписанной в четырехугольник суммы противоположных сторон такого четырехугольника равны между собой.

a+b=c+d, где с  и  d - ,боковые стороны трапеции и c=d/
Значит сумма оснований трапеции 36, боковые стороны трапеции 18

Проведем высоту ВR. По теореме Пифагора АR²=18²-6²=(18-6)(18+6)=12·24
AR=12√2.
Значит меньшее основание трапеции
 ВС= (36-24√2)/2,
BC=18-12√2.

BC=9-6√2
AD= 18+12√2
AG=AD|2=9+6√2

Треугольники SBF  и SAG  подобны.
Из подобия:  SB: SA= BF:AG
SB:(SB+18)=(9-6√2):(9+6√2)
SB=(54-36√2)|4√2

Из подобия треугольников  SKE и SBF:

SB:SK=BF: KE

SK=SB+3

KE=SK·BF/SB

KТ=2КЕ=2·(9-4√2)/(9(3-2√2)²)