.(Доказать, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон).

Решение. Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС, и серединой Ас – точкой К, тогда

АК=СК, АВ=ВС

Опустим перпендикуляры с точки К на боковые стороны АВ,ВС (по определению они будут расстояниями от точки до сторон) соответственно КР и КТ

Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она приведена

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними

Площадь треугольника ВКС равна 1\2*КТ*BC=1\2*CК*ВК*sin (BKC)

Площадь треугольника AКС равна 1\2*КP*AB=1\2*AК*ВК*sin (BKA)

sin (BKA)= sin (BKC) как синусы смежных углов, значит

 1\2*AК*ВК*sin (BKA)= 1\2*CК*ВК*sin (BKC),

Значит 1\2*КТ*BC=1\2*КP*AB, отсюда

КТ=КР, что и требовалось доказать.

Доказано